在平面直角坐標(biāo)系中,A點坐標(biāo)為(1,1),B點與A點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,過動點P作x軸的垂線,垂足為C點,而點D滿足2
PD
=
PC
,且有
PA
PB
=2
,
(1)求點D的軌跡方程;
(2)求△ABD面積的最大值;
(3)斜率為k的直線l被(1)中軌跡所截弦的中點為M,若∠AMB為直角,求k的取值范圍.
(1)設(shè)P(x',y'),得
PA
=(1-x',1-y'),
PB
=(-1-x',-1-y'),
所以
PA
PB
=(1-x')(-1-x')+(1-y')(-1-y')=(x')2+(y')2-2
PA
PB
=2
,
∴點P的軌跡方程為(x')2+(y')2-2=2,即(x')2+(y')2=4…(*)
再設(shè)D(x',y'),由2
PD
=
PC
得D為PC的中點
∴x=
1
2
(x′+1)
,y'=
1
2
y′

可得x'=2x-1,y'=2y.代入(*)式得(2x-1)2+(2y)2=4
化簡得點D的軌跡方程:(x-
1
2
2+y2=1
(2)設(shè)點D坐標(biāo)為(
1
2
+cosα,sinα),
求得直線AB的方程為x-y=0,得D到直線AB的距離為
d=
|
1
2
+cosα-sinα|
2
=
|
1
2
+
2
cos(α+
π
4
)|
2

當(dāng)α=
4
時,d的最大值為1+
2
2
,
因此△ABD面積的最大值為
1
2
×AB×(1+
2
2
)=1+
2
;
(3)若∠AMB為直角,則點M在以AB為直徑的圓上
求得以AB為直徑的圓方程為x2+y2=2,該圓與D的軌跡交于點M1
5
4
,
7
4
)和M2
5
4
,-
7
4

滿足條件的點M位于圓N:(x-
1
2
2+y2=1在x2+y2=2內(nèi)的劣弧上
KNM1=
7
4
-0
5
4
-
1
2
=
7
3
,得此時切線l的斜率k1=
1
KNM1
=-
3
7
7

KNM2=
-
7
4
-0
5
4
-
1
2
=-
7
3
,得此時切線l的斜率k2=
1
KNM2
=
3
7
7

∴運動點M,觀察斜率變化,可得直線l的斜率為k∈(-∞,-
3
7
7
)∪(
3
7
7
,+∞)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

兩圓(xa)2+(yb)2=c2和(xb)2+(ya)2=c2相切,則(  )
A.(ab)2=c2B.(ab)2=2c2C.(a+b)2=c2D.(a+b)2=2c2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

圓C1:(x+1)2+y2=1與圓C2:(x-3)2+(y-4)2=1的位置關(guān)系是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列圖形中,可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1(a≠0且b≠0)圖形的是(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

對于方程
x2
2
+
y2
m-1
=1
(m∈R且m≠1)的曲線C,下列說法錯誤的是( 。
A.m>3時,曲線C是焦點在y軸上的橢圓
B.m=3時,曲線C是圓
C.m<1時,曲線C是雙曲線
D.m>1時,曲線C是橢圓

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),動點P滿足|PF1|+|PF2|=2
3

(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)若直線l:y=kx+2與軌跡C交于A、B兩點,且
OA
OB
=0
(其中O為坐標(biāo)原點),求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知圓的方程x2+y2=25,點A為該圓上的動點,AB與x軸垂直,B為垂足,點P分有向線段BA的比λ=
3
2

(1)求點P的軌跡方程并化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式;
(2)寫出軌跡的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知半徑為1的動圓與圓(x-5)2+(y+7)2=16相切,則動圓圓心的軌跡方程是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若動點P(x1,y1)在曲線y=2x2+1上移動,則點P與點(0,-l)連線中點的軌跡方程為( 。
A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x2

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同步練習(xí)冊答案