【題目】已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：

(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；

(2)a＋b≤2.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由(a＋b)(a5＋b5)＝4＋ab(a2－b2)2，可知原不等式成立；

（2）由a3+b3=2轉(zhuǎn)化為=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，問題得以證明．

試題解析：

(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6

＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)

＝4＋ab(a2－b2)2≥4.

(2)因?yàn)?a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

＝2＋3ab(a＋b)≤2＋ (a＋b)

＝2＋，

所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2022年第24屆冬奧會(huì)將在北京舉行。為了推動(dòng)我國冰雪運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,京西某區(qū)興建了“騰越”冰雪運(yùn)動(dòng)基地。通過對(duì)來“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的100員運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)抽樣調(diào)查，他們的身份分布如下： 注:將表中頻率視為概率。

身份

小學(xué)生

初中生

高中生

大學(xué)生

職工

合計(jì)

人數(shù)

40

20

10

20

10

100

對(duì)10名高中生又進(jìn)行了詳細(xì)分類如下表：

年級(jí)

高一

高二

高三

合計(jì)

人數(shù)

4

4

2

10

(1)求來“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的人員中高中生的概率；

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，春節(jié)當(dāng)天來“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的人員中，小學(xué)生是340人，估計(jì)高中生是多少人？

（3）在上表10名高中生中，從高二，高三6名學(xué)生中隨機(jī)選出2人進(jìn)行情況調(diào)查，至少有一名高三學(xué)生的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，是的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證：平面底面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四邊形是正方形，平面，，，，，分別為，，的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： ，其中， 為左、右焦點(diǎn)，且離心率，直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)， .當(dāng)直線過橢圓右焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為.

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，當(dāng)面積為時(shí)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f(x)＝|2x－1|－|x＋1|.

(1)將f(x)的解析式寫成分段函數(shù)的形式，并作出其圖象；

(2)若a＋b＝1，對(duì)a，b∈(0，＋∞)，＋≥3f(x)恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，直三棱柱中，是邊長為2等邊三角形，是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若與平面所成角為，求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:的上頂點(diǎn)為，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為(與不重合)，過作直線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使為定值？若存在求出的坐標(biāo)，不存在說明理由？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，圓，已知直線與圓相切，且與拋物線相交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求直線在軸上截距的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)，，求直線的方程.

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