【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,的中點,是棱上的點,且.

(Ⅰ)求證:平面底面;

(Ⅱ)求二面角的大小.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).

【解析】試題分析:(1)根據(jù)計算可得,由等腰三角形性質(zhì)得,由線面垂直判定定理得平面,再根據(jù)面面垂直判定定理得平面底面;(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點坐標(biāo),利用方程組解得平面的一個法向量,再根據(jù)向量數(shù)量積得兩平面法向量夾角,最后根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系確定結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)證明:連接,∵四邊形是直角梯形,,的中點,∴四邊形為平行四邊形,又∵,∴,∵是邊長為2的正三角形,的中點,∴,,在中,,,有,∴,∵,、平面,∴平面,又∵平面,∴平面底面;

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知能以為原點,分別以、、、、軸建立坐標(biāo)系如圖,則,,∵,,,的中點,∴ ,∴ ,又∵,∴,∴,設(shè)平面的一個法向量為,由,即,令,得,又為平面的一個法向量,∴,∴二面角.

點睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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