Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）若點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，平面平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】分析：（1）由正三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，從而可得結(jié)論；（2）由（1）知，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量取平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

詳解：（1）連接，

因?yàn)?/span>，，所以為正三角形，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以.

又，所以平面，又平面，所以.

（2）由（1）知.又平面平面，交線(xiàn)為，所以平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

可得得，

由（1）知平面，則取平面的一個(gè)法向量，

，故二面角的余弦值為.