【題目】如圖，四棱錐中，底面為菱形，，，點為的中點.

（1）證明：；

（2）若點為線段的中點，平面平面，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）由正三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結(jié)論；（2）由（1）知，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，平面，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量取平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

詳解：（1）連接，

因為，，所以為正三角形，又點為的中點，所以.

又因為，為的中點，所以.

又，所以平面，又平面，所以.

（2）由（1）知.又平面平面，交線為，所以平面，

以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

設平面的一個法向量為，

可得得，

由（1）知平面，則取平面的一個法向量，

，故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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