Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在其定義域上是單調(diào)遞增函數(shù).

（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，令，再由導(dǎo)數(shù)方法研究單調(diào)性，求出最小值即可；

（2）先將當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，化為恒成立，令，，用導(dǎo)數(shù)方法研究其單調(diào)性，再記，得到單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.

（1）證明：因?yàn)?/span>，，所以.

令，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

故，

從而在上恒成立，

即在上單調(diào)遞增.

（2）解：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立.

記，，則，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在恒成立，

即在上單調(diào)遞減.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在恒成立，

即在上單調(diào)遞減.

記，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，所以.

因?yàn)?/span>在上恒成立，所以，即.

又，故的取值范圍為.