【題目】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,點(diǎn)M和N分別是B1C1和BC的中點(diǎn).
(1)求證:MB∥平面AC1N;
(2)求證:AC⊥MB.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)證明MC1NB為平行四邊形,所以C1N∥MB,即可證明MB∥平面AC1N;(2)證明AC⊥平面BCC1B1,即可證明AC⊥MB.
(1)證明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是B1C1,BC的中點(diǎn),
所以C1M∥BN,C1M=BN.
所以MC1NB為平行四邊形.
所以C1N∥MB.
因?yàn)镃1N平面AC1N,MB平面AC1N,
所以MB∥平面AC1N;
(2)因?yàn)镃C1⊥底面ABC,
所以AC⊥CC1.
因?yàn)锳C⊥BC,BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
因?yàn)镸B平面BCC1B1,
所以AC⊥MB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=emx+x2﹣mx(m∈R).
(1)當(dāng)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若m<0,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+(e+1)y=0垂直.
(i)當(dāng)x>0時(shí),試比較f(x)與f(﹣x)的大;
(ii)若對任意x1 , x2(x1≠x2),且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2<0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知全集U=R,集合A={x|x2-11x+18<0},B={x|-2≤x≤5}.
(1)求A∩B;B∪(UA);
(2)已知集合C={x|a≤x≤a+2},若C∩=C,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市實(shí)施了機(jī)動(dòng)車尾號限行,該市報(bào)社調(diào)查組為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查了50人,將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡(歲) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 6 | 9 | 6 | 3 | 4 |
(Ⅰ)請估計(jì)該市公眾對“車輛限行”的贊成率和被調(diào)查者的年齡平均值;
(Ⅱ)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記被選4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)若在這50名被調(diào)查者中隨機(jī)發(fā)出20份的調(diào)查問卷,記為所發(fā)到的20人中贊成“車輛限行”的人數(shù),求使概率取得最大值的整數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng):第一次取1;第二次取2個(gè)連續(xù)偶數(shù)2,4;第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9;第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14,16;第五次取5個(gè)連續(xù)奇數(shù)17,19,21,23,25,按此規(guī)律取下去,得到一個(gè)子數(shù)列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,則在這個(gè)子數(shù)中第2014個(gè)數(shù)是( )
A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面邊長為a,E是PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PA∥平面BDE;
(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;
(Ⅲ)若二面角E-BD-C為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在公比為2的等比數(shù)列{an}中,a2與a3的等差中項(xiàng)是9 .
(1)求a1的值;
(2)若函數(shù)y=|a1|sin( x+φ),|φ|<π,的一部分圖象如圖所示,M(﹣1,|a1|),N(3,﹣|a1|)為圖象上的兩點(diǎn),設(shè)∠MPN=β,其中P與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,0<β<π,求tan(φ﹣β)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校的學(xué)生文娛團(tuán)隊(duì)由理科組和文科組構(gòu)成,具體數(shù)據(jù)如表所示:
組別 | 文科 | 理科 | ||
性別 | 男生 | 女生 | 男生 | 女生 |
人數(shù) | 3 | 1 | 3 | 2 |
學(xué)校準(zhǔn)備從該文娛團(tuán)隊(duì)中選出4人到某社區(qū)參加大型公益活動(dòng)演出,每選出一名男生,給其所在的組記1分;每選出一名女生,給其所在的組記2分,要求被選出的4人中文科組和理科組的學(xué)生都有.
(I)求理科組恰好得4分的概率;
(II)記文科組的得分為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.
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