Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（）,且點(diǎn)F（，0）為其右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在直線與橢圓C交于B,D兩點(diǎn),滿足,且原點(diǎn)到直線l的距離為？若存在,求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)不存在符合條件的直線.

【解析】

(1)求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo),求出到左焦點(diǎn)距離,再求出到右焦點(diǎn)的距離,最后利用橢圓的定義求出橢圓方程；

(2)假設(shè)存在這樣的直線,設(shè)出直線的方程, 原點(diǎn)到直線l的距離為,可得到等式,該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)根的判別式,可以計(jì)算出直線l的斜率的取值范圍,把向量式子

用數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式化簡(jiǎn),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可求出該直線的斜率,檢驗(yàn)該值在不在斜率的取值范圍中,最后再考慮直線不存在斜率的情況,這樣就可以得出正確結(jié)論.

(1)設(shè)橢圓C的方程為，則左焦點(diǎn)為，

在直角三角形中，可求，∴，

故橢圓C的方程為．

(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為，由原點(diǎn)到l的距離為得：

．

聯(lián)立方程，得．

則，，．

設(shè)，，

則，

解得．

當(dāng)斜率不存在時(shí)l的方程為，易求得.

綜上，不存在符合條件的直線.