Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）= ，其中a∈R，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；
（3）確定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣ = （x＞0），

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，則f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)；

當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x= = ，

∴當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，

則f（x）在（0， ）上為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)；

綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0， ）上為減函數(shù)，在（ ，+∞）上為增函數(shù)；

（2）

證明：要證g（x）＞0（x＞1），即 ＞0，

即證 ，也就是證 ，

令h（x）= ，則h′（x）= ，

∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則h（x）min=h（1）=e，

即當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞e，∴當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞0；

（3）

解：由f（x）＞g（x），得 ，

設(shè)t（x）= ，

由題意知，t（x）＞0在（1，+∞）內(nèi)恒成立，

∵t（1）=0，

∴有t′（x）=2ax = ≥0在（1，+∞）內(nèi)恒成立，

令φ（x）= ，

則φ′（x）= = ，

當(dāng)x≥2時(shí)，φ′（x）＞0，

令h（x）= ，h′（x）= ，函數(shù)在[1，2）上單調(diào)遞增，∴h（x）min=h（1）=﹣1．

又2a≥1，e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，

綜上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，

∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞增，

∴a≥ ．

【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，即可討論f（x）的單調(diào)性；
（2）要證g（x）＞0（x＞1），即 ﹣ ＞0，即證 ，也就是證 ；
（3）由f（x）＞g（x），得 ，設(shè)t（x）= ，由題意知，t（x）＞0在（1，+∞）內(nèi)恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，即可確定a的取值范圍；
本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，不等式的證明，考查恒成立成立問(wèn)題，正確構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)，掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，以及對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的理解，了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．