【題目】如圖,在三棱柱中,邊長為的正方形,,
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)證明:在線段上存在點,使得,并求的值。
【答案】(1)證明見解析;(2) (3)證明見解析;
【解析】
(1)根據(jù)所給線段長度,由勾股定理逆定理可得,結(jié)合正方形中的垂直關(guān)系,利用線面垂直的判定定理即可判斷平面.
(2)以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),求得平面與平面的法向量,根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可求得向量夾角的余弦值.
(3)假設(shè)在線段上存在點,設(shè)出點的坐標(biāo),根據(jù)垂直時的向量坐標(biāo)運算求得點的坐標(biāo),即可證明存在點;根據(jù)相似,即可求得的值.
(1)因為邊長為的正方形, ,,
則,即
又正方形中,且
所以平面
(2)以為原點,以所在直線為軸, 以所在直線為軸, 以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,
則代入可得,令則解得
所以
同理代入可得,令則解得
所以
則
由圖可知, 平面與平面形成的二面角為銳二面角
所以二面角的余弦值為
(3)證明:假設(shè)在線段上存在點,使得,過作,作,如下圖所示:
設(shè),則由,即,所以
則,由,即,所以
所以
所以,
因為
所以
即,化簡可得
解得
即在線段上存在點,使得
則
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,上頂點為,過點與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點,且恰是的中點,若過三點的圓恰好與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點,在軸上是否存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點M為棱A1B1的中點.
求證:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面C1CM⊥平面A1B1C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)動直線與橢圓交于A,B兩點,在平面上是否存在定點P,使得當(dāng)直線PA與直線PB的斜率均存在時,斜率之和是與無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出所有滿足條件的定點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】運輸公司年有萬輛公交車,計劃年投入輛新型號公交車,以后每年投入的新型號公交車數(shù)量均比上年增加.
(1)年應(yīng)投入多少輛新型號公交車?
(2)從年到年間共投入多少輛新型號公交車?
(3)從哪一年開始,該公司新型號公交車總量超過該公司公交車總量的?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的離心率為,橢圓與軸交于兩點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點是橢圓上的一個動點,且點在軸的右側(cè),直線與直線交于兩點,若以為直徑的圓與軸交于,求點橫坐標(biāo)的取值范圍及的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將個不同的紅球和個不同的白球,放入同一個袋中,現(xiàn)從中取出個球.
(1)若取出的紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù),則有多少種不同的取法;
(2)取出一個紅球記分,取出一個白球記分,若取出個球的總分不少于分,則有多少種不同的取法;
(3)若將取出的個球放入一箱子中,記“從箱子中任意取出個球,然后放回箱子中”為一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到個紅球并且恰有一次取到個白球的概率.
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