【題目】(本小題滿分16分)已知函數(shù)在處的切線方程為
(1)若= ,求證:曲線上的任意一點(diǎn)處的切線與直線和直線
圍成的三角形面積為定值;
(2)若,是否存在實(shí)數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意都成立;
(3)在(2)的條件下,若方程有三個解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】試題分析:
試題解析:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 為切線的斜率,解出,寫出的切線方程求出三角形的面積為定值.利用求出,假設(shè)存在m,k滿足題意,則式子對定義域任一恒成立,解出;代入的值使方程有三個解,化為 =|x|(x﹣1),畫出的圖象,要求﹣ < <0,解出的范圍.
證明:(1)因?yàn)?/span> f′(x)=
所以 f′(3)= ,
又 g(x)=f(x+1)=ax+ ,
設(shè)g(x)圖象上任意一點(diǎn)P(x0,y0)因?yàn)?/span> g′(x)=a﹣ ,
所以切線方程為y﹣(ax0+)=(a﹣)(x﹣x0)
令x=0 得y=; 再令y=ax得 x=2x0,
故三角形面積S=|||2x0|=4,
即三角形面積為定值.
(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+ ﹣1假設(shè)存在m,k滿足題意,
則有x﹣1++m﹣x﹣1+=k
化簡,得 對定義域內(nèi)任意x都成立,
故只有 解得
所以存在實(shí)數(shù)m=2,k=0使得f(x)+f(m﹣k)=k對定義域內(nèi)的任意都成立.
(3)由題意知,x﹣1+=t(x2﹣2x+3)|x|
因?yàn)?/span>x≠0,且x≠1化簡,得 t=
即 =|x|(x﹣1),
如圖可知,﹣ < <0,
所以t<﹣4即為t的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1= ,an+1= ,n=1,2,…
(1)求證:{ ﹣1}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對任意的x>0,an≥ ﹣ ( ﹣x),n=1,2,…
(3)證明:n﹣ ≥a1+a2+…+an> .
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【題目】若a,b,c∈R,且a>b,則下列不等式一定成立的是( )
A.a+c≥b﹣c
B.ac>bc
C. >0
D.(a﹣b)c2≥0
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【題目】某貨運(yùn)員擬運(yùn)送甲、乙兩種貨物,每件貨物的體積、重量、可獲利潤如表所示:
體積(升/件) | 重量(公斤/件) | 利潤(元/件) | |
甲 | 20 | 10 | 8 |
乙 | 10 | 20 | 10 |
在一次運(yùn)輸中,貨物總體積不超過110升,總重量不超過100公斤,那么在合理的安排下,一次運(yùn)輸獲得的最大利潤為( )
A.65元
B.62元
C.60元
D.56元
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系中, 為極點(diǎn),半徑為2的圓的圓心坐標(biāo)為.
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)重合, 軸非負(fù)關(guān)軸與極軸重合,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),由直線上的點(diǎn)向圓引切線,求切線長的最小值.
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【題目】某市為了解本市2萬名學(xué)生的漢字書寫水平,在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了漢字聽寫考試,現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,將所得成績整理后,發(fā)現(xiàn)其成績?nèi)拷橛?/span>之間,將其成績按如下分成六組,得到頻數(shù)分布表
成績 | ||||||
人數(shù) | 4 | 10 | 16 | 10 | 6 | 4 |
(1)在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(2)估算該校50名學(xué)生成績的平均值和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(3)以該校50名學(xué)生成績的頻率作為概率,試估計(jì)該市分?jǐn)?shù)在的人數(shù).
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 = .
(1)求 的值
(2)若cosB= ,b=2,求△ABC的面積S.
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【題目】已知集合P={x|x2>2},Q={0,1,2,3},則(RP)∩Q=( )
A.{0,1}
B.{0}
C.{2,3}
D.{1,2,3}
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