【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,過焦點垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為
(1)求橢圓E的方程;
(2)斜率為k的直線l經過原點,與橢圓E相交于不同的兩點M,N,判斷并說明在橢圓E上是否存在點P,使得△PMN的面積為

【答案】
(1)解:由題意, ,得c=1,∴b2=a2﹣c2=1.

則橢圓E的方程為:


(2)解:存在.

設點P(x,y),直線l的方程為y=x﹣1.

,得M(0,﹣1),N( ),

則|MN|=

則點P到直線l的距離為

設過點P與直線l平行的直線l1:y=x+m.

聯(lián)立 ,得3x2+4mx+2m2﹣2=0.

由△=16m2﹣12(2m2﹣2)=0,解得m=

當m= 時,l與l1之間的距離為 >1;

當m=﹣ 時,l與l1之間的距離為 <1.

則在橢圓E上存在點P,使得△PMN的面積為


【解析】(1)由題意求得a,c的值,結合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;(2)設出P點坐標及直線l的方程,由△PMN的面積為 求得點P到直線l的距離為1,再設出過點P與直線l平行的直線l1:y=x+m.與橢圓方程聯(lián)立,由判別式等于0求得m值,再結合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離,與1比較得答案.

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