如圖,已知平行六面體ABCD-A
1B
1C
1D
1的底面為正方形,O
1,O分別為上、下底面中心,且A
1在底面ABCD上的射影為O.
(1)求證:平面O
1DC⊥平面ABCD;
(2)若點(diǎn)E、F分別在棱AA
1、BC上,且AE=2EA
1,問F在何處時(shí),EF⊥AD?
(3)若∠A
1AB=60°,求二面角C-AA
1-B的正切值.
(1)∵平行六面體底面為正方形,
∴A
1A
∥CC
1,∴A
1C
1∥AC,
又O
1,O分別為上下底面中心,∴A
1O
1∥CO,∴CO
1∥A
1O.
∵A
1在底面ABCD射影為O,∴A
1O⊥平面AC,CO
1⊥平面AC,
又CO
1?平面O
1DC,
∴平面O
1DC⊥平面ABCD.
(2)過E作AC垂線,垂足為G,則EG
∥A
1O,
∴EG⊥平面AC,
若要EF⊥AD,即EF⊥BC,則需GF⊥BC,
∵底面ABCD圖形為正方形,∴FG
∥AB,
由
A1E=AE,則
OG=AG,
∴
====,
∴F為BC的三等分點(diǎn),靠近B時(shí),EF⊥AD.
(3)∵BO⊥AO,BO⊥A1O,AO∩A1O=O,
∴BO⊥面CA
1,過O作OM⊥AA
1于M,
連接BM,則AA
1⊥BM,∠BMO是二面角C-AA
1-B的平面角
由A
1O⊥面AC,AO=BO得
A1A=A1B,∠A1AB=60O,
∴△A
1AB為正三角形,
設(shè)
AB=a,A1A=a,則AO=BO=a,
∴
A1O=a,
OM==,
在Rt△BOM中,
tan∠BMO==,
所以所求的二面角的正切值為
.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知正△ABC的頂點(diǎn)A在平面α上,頂點(diǎn)B、C在平面α的同一側(cè),D為BC的中點(diǎn),若△ABC在平面α上的投影是以A為直角頂點(diǎn)的三角形,則直線AD與平面α所成角的正弦值的范圍為______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1,O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).求證:
(1)C
1O
∥面A
1B
1D
1;
(2)A
1C⊥面AB
1D
1;
(3)求直線AC與平面AB
1D
1所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示,在正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,E為DD
1上的點(diǎn)、F為DB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求直線B
1F與平面CDD
1C
1所成角的正弦值;
(Ⅱ)若直線EF
∥平面ABC
1D
1,試確定點(diǎn)E的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示,將一副三角板拼接,使它們有公共邊BC,且使兩個(gè)三角形所在的平面互相垂直,若∠BAC=90°,AB=AC,∠CBD=90°,∠BDC=60°,BC=6.
(1)求證:平面ABD⊥平面ACD;
(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值;
(3)求異面直線AD與BC間的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,已知等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為
,M是AC的中點(diǎn),則EM,DE所成角的余弦值等于______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖所示,邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2
,M為BC的中點(diǎn).
(1)證明:AM⊥PM;
(2)求二面角P-AM-D的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖多面體,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為矩形,俯視圖為直角梯形(尺寸如圖所示).
(Ⅰ)求證:AE
∥平面DCF;
(Ⅱ)當(dāng)AB的長為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為60°?
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF
∥平面PEC;
(Ⅱ)求PC與平面ABCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角P-EC-D的余弦值.
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