已知正方體ABCD-A
1B
1C
1D
1,O是底ABCD對角線的交點.求證:
(1)C
1O
∥面A
1B
1D
1;
(2)A
1C⊥面AB
1D
1;
(3)求直線AC與平面AB
1D
1所成角的正切值.
證明:(1)連接A
1C
1,設A
1C
1∩B
1D
1=O
1,
連接AO
1,∵ABCD-A
1B
1C
1D是正方體
∴A
1ACC
1是平行四邊形
∴A
1C
1∥AC且A
1C
1=AC(2分)
又∵O
1,O分別是A
1C
1,AC的中點,
∴O
1C
1∥AO且O
1C
1=AO
∴O
1C
1OA是平行四邊形
∴C
1O
∥AO
1,AO
1?平面A
1B
1D
1,C
1O?平面A
1B
1D
1,
∴C
1O
∥面A
1B
1D
1;
(2)∵CC
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,
∴CC
1⊥B
1D
1,
又∵A
1C
1⊥B
1D
1,
∴B
1D
1⊥平面A
1C
1C
即B
1D
1⊥A
1C,
同理可證AB
1⊥A
1C,
又B
1D
1∩AB
1=B
1,
∴A
1C⊥面AB
1D
1;
(3)直線AC與平面AB
1D
1所成的角實際上
就是正四面體ACB
1D
1的一條棱與一個面所成的角,
余弦值為
,從而正切值為
.(13分)
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
空間四邊形ABCD中,M,N分別是AB和CD的中點,AD=BC=6,MN=3
,則AD和BC所成的角是( 。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中,底面邊長AB=2,側(cè)棱BB
1的長為4,過點B作B
1C的垂線交側(cè)棱CC
1于點E,交B
1C于點F.
(Ⅰ)求證:A
1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求A
1B與平面BDE所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知,如圖四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,PG⊥平面ABCD,垂足為G,G在線段AD上,且PG=4,
AG=GD,BG⊥GC,BG=GC=2,E是BC的中點.
(1)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(2)求DG與平面PBG所成角的大。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知四面體ABCD,AD=CD,∠ADB=∠CDB=120°,且平面ABD⊥平面BCD.
(Ⅰ)求證:BD⊥AC;
(Ⅱ)求直線CA與平面ABD所成角的大。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥底面ABCD,AB
∥CD,AB⊥AD,AB=AD=
CD=2,PA=2,M,E,F(xiàn)分別是PA,PC,PD的中點.
(1)證明:EF
∥平面PAB;
(2)證明:PD⊥平面ABEF;
(3)求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,AB=BC=CA=a,
AA1=a,求AB
1與側(cè)面AC
1所成的角.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,已知平行六面體ABCD-A
1B
1C
1D
1的底面為正方形,O
1,O分別為上、下底面中心,且A
1在底面ABCD上的射影為O.
(1)求證:平面O
1DC⊥平面ABCD;
(2)若點E、F分別在棱AA
1、BC上,且AE=2EA
1,問F在何處時,EF⊥AD?
(3)若∠A
1AB=60°,求二面角C-AA
1-B的正切值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
四棱錐P-ABCD的底面為菱形,且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,
PA=,
E為PC的中點.
(1)求二面角E-AD-C的正切值;
(2)在線段PC上是否存在一點M,使PC⊥平面MBD成立?若存在,求出MC的長;若不存在,請說明理由.
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