如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長AB=2,側(cè)棱BB1的長為4,過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E,交B1C于點F.
(Ⅰ)求證:A1C⊥平面BED;
(Ⅱ)求A1B與平面BDE所成的角的正弦值.
( I)如圖,以D為原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸,
建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示,可得
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4)…(2分)
設(shè)E(0,2,t),則
BE
=(-2,0,t),
B1C
=(-2,0,-4)

∵BE⊥B1C,
∴可得
BE
B1C
=4+0-4t=0
.解之得t=1,
∴E(0,2,1),且
BE
=(-2,0,1)

又∵
A1C
=(-2,2,-4),
DB
=(2,2,0)
,…(4分)
A1C
BE
=4+0-4=0

A1C
DB
=-4+4+0=0
…(6分)
A1C
DB
A1C
BE

∵BD、BE是平面BDE內(nèi)的相交直線.
A1C
平面BDE…(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)所建的坐標系,得
A1C
=(-2,2,-4)
是平面BDE的一個法向量,
又∵
A1B
=(0,2,-4)
,
cos<
A1C
A1B
>=
A1C
A1B
|
A1C
||
A1B
|
=
30
6

因此,可得A1B與平面BDE所成角的正弦值為
30
6
…(12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四面體ABCD中,O.E分別為BD.BC的中點,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(理)如圖,單位正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F(xiàn)分別是棱C1D1和B1C1的中點,試求:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示的四棱錐,SD垂直于正方形ABCD所在的底面,AB=1,SB=
3

(1)求證:BC⊥SC;
(2)求SB與底面ABCD所成角的正切值;
(3)設(shè)棱SA的中點為M,求異面直線DM與SC所成角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為(  )
A.
2
2
B.
15
5
C.
6
4
D.
6
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長都等于1,A1在底面ABC上的射影D為BC的中點,則側(cè)棱AA1與底面ABC所成角的大小為______,此三棱柱的體積為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1,O是底ABCD對角線的交點.求證:
(1)C1O面A1B1D1;
(2)A1C⊥面AB1D1;
(3)求直線AC與平面AB1D1所成角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2
2
,M為BC的中點.
(1)證明:AM⊥PM;
(2)求二面角P-AM-D的大小.

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