如圖所示，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2
2
，M為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：AM⊥PM；
（2）求二面角P-AM-D的大小．
（1）證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，EA，
∵△PCD為正三角形，
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
3
．
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均為直角三角形，
由勾股定理可求得EM=
3
，AM=
6
，AE=3，
∴EM2+AM2=AE2．∴AM⊥EM．
又PE∩EM=E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM．
（2）由（1）可知：EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角．
在Rt△PEM中，tan∠PME=
PE
EM
=
3
3
=1，∴∠PME=45°．
∴二面角P-AM-D的大小為45°．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CA=a，AA1=
2
a，求AB1與側(cè)面AC1所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點(diǎn)E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為
5
的等腰三角形，則二面角V-AB-C的平面角為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=2
3
，BC=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖：在二面角α-l-β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD為矩形，p∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn)，
（1）求二面角α-l-β的大小
（2）求證：MN⊥AB
（3）求異面直線PA和MN所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=
6
，
E為PC的中點(diǎn)．
（1）求二面角E-AD-C的正切值；
（2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使PC⊥平面MBD成立？若存在，求出MC的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為1，底面ABC為直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=90°．則二面角B1-AC-B的大小為______；點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離等于______．

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同步練習(xí)冊答案