【題目】已知橢圓的一個焦點,點在橢圓上.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)直線平行于直線坐標原點),且與橢圓交于,兩個不同的點,若為鈍角,求直線軸上的截距的取值范圍.

【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)由焦點坐標確定出c的值,根據(jù)橢圓的性質列出ab的方程,再將M點坐標代入橢圓方程列出關于ab的方程,聯(lián)立求出ab的值,確定出橢圓方程即可;

(Ⅱ)設直線l方程為,Ax1,y1)、Bx2y2),聯(lián)立l與橢圓方程,消去y得到關于x的一元二次方程,利用韋達定理表示出x1+x2x1x2,根據(jù)∠AOB為鈍角,得到0,即x1x2+y1y2<0,即可確定出m的范圍;

(Ⅰ)由已知,則

又點在橢圓上,

所以

由①②解得舍去),

故橢圓的標準方程為

(Ⅱ)由直線平行于得直線的斜率為,又軸上的截距,

的方程為

,又線與橢圓交于,兩個不同的點,

,,則,

所以,于是

為鈍角等價于,且,則,

,又

所以的取值范圍為

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x

0

40

60

120

Q

0

20

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