【題目】設數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)在中,將代得: ,由兩式作商得:,問題得解。
(2)利用(1)中結果求得,分組求和,再利用等差數(shù)列前項和公式及乘公比錯位相減法分別求和即可得解。
(1)由n=1得,
因為,
當n≥2時,,
由兩式作商得:(n>1且n∈N*),
又因為符合上式,
所以(n∈N*).
(2)設,
則bn=n+n·2n,
所以Sn=b1+b2+…+bn=(1+2+…+n)+
設Tn=2+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,①
所以2Tn=22+2·23+…(n-2)·2n-1+(n-1)·2n+n·2n+1,②
①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,
所以Tn=(n-1)·2n+1+2.
所以,
即.
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【題目】如圖,在以P為頂點的圓錐中,母線長為,底面圓的直徑AB長為2,O為圓心.C是圓O所在平面上一點,且AC與圓O相切.連接BC交圓于點D,連接PD,PC,E是PC的中點,連接OE,ED.
(1)求證:平面平面PAC;
(2)若二面角的大小為,求面PAC與面DOE所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓:過點和點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于不同的兩點, ,是否存在實數(shù),使得?若存在,求出實數(shù);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知為拋物線:的焦點,過的動直線交拋物線于,兩點.當直線與軸垂直時,.
(1)求拋物線的方程;
(2)設直線的斜率為1且與拋物線的準線相交于點,拋物線上存在點使得直線,,的斜率成等差數(shù)列,求點的坐標.
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【題目】如圖, 中,,,分別為,邊的中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置,且.
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】近年來,網上購物已經成為人們消費的一種習慣.假設某淘寶店的一種裝飾品每月的銷售量 (單位:千件)與銷售價格 (單位:元/件)之間滿足如下的關系式:為常數(shù).已知銷售價格為元/件時,每月可售出千件.
(1)求實數(shù)的值;
(2)假設該淘寶店員工工資、辦公等所有的成本折合為每件2元(只考慮銷售出的裝飾品件數(shù)),試確定銷售價格的值,使該店每月銷售裝飾品所獲得的利潤最大.(結果保留一位小數(shù))
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【題目】某縣畜牧技術員張三和李四年來一直對該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進行跟蹤調查,張三提供了該縣某山羊養(yǎng)殖場年養(yǎng)殖數(shù)量(單位:萬只)與相應年份(序號)的數(shù)據(jù)表和散點圖(如圖所示),根據(jù)散點圖,發(fā)現(xiàn)y與x有較強的線性相關關系.
年份序號 | |||||||||
年養(yǎng)殖山羊/萬只 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計量,求關于的線性回歸方程(參考統(tǒng)計量:,;
(2)李四提供了該縣山羊養(yǎng)殖場的個數(shù)(單位:個)關于的回歸方程.
試估計:①該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只?
②到第幾年,該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了?
附:回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
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【題目】在某外國語學校舉行的(高中生數(shù)學建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分數(shù)在以上(含)的同學獲獎.按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求的值,并計算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯誤的概率不超過的前提下能否認為“獲獎與女生、男生有關”.
女生 | 男生 | 總計 | |
獲獎 | |||
不獲獎 | |||
總計 | |||
附表及公式:
其中,.
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