Question

【題目】已知為拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)，過(guò)的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，．

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為1且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)使得直線(xiàn)，，的斜率成等差數(shù)列，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由題意可得，即可求出拋物線(xiàn)的方程，（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立消去，得，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合直線(xiàn)，，的斜率成等差數(shù)列，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）因?yàn)?/span>，在拋物線(xiàn)方程中，令，可得．

于是當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，，解得．

所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為．

（2）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以．

設(shè)直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立消去，得．

設(shè)，，則，.

若點(diǎn)滿(mǎn)足條件，則，

即，

因?yàn)辄c(diǎn)，，均在拋物線(xiàn)上，所以，，．

代入化簡(jiǎn)可得，

將，代入，解得．

將代入拋物線(xiàn)方程，可得．

于是點(diǎn)為滿(mǎn)足題意的點(diǎn)．