【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的極大值點；

（2）若函數(shù)，判斷的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求導，求出的單調(diào)區(qū)間后即可得解；

（2）由題意得，根據(jù)、、、分類討論的正負，即可得解；

（3）由可得，且，則可得，，令，根據(jù)的單調(diào)性求出的最大值后即可得解.

（1）當時，.當時，，單調(diào)遞增，

當時，，單調(diào)遞減.所以是的極大值點.

（2）由已知得，

的定義域為，.

當時，，當時，，單調(diào)遞增，

當時，，單調(diào)遞減.

當時，由，得或.

因而當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.

當時，由，得或.

因而當與時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.

當時，，因而當時，單調(diào)遞增.

當時，由.得或，

因而當與時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3），則的定義域為. .

若有兩個極值點，則方程的判別式，且，，.

又，∴即.

，

設其中.

由得.

由于即，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即的最大值為.

從而成立.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，左右兩頂點，點為橢圓上任意一點，滿足直線的斜率之積為，且的最大值為4.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知直線與軸的交點為，過點的直線與橢圓相交與兩點，連接點并延長，交軌跡于一點.求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義上的函數(shù)，則下列選項不正確的是（ ）

A.函數(shù)的值域為

B.關(guān)于的方程有個不相等的實數(shù)根

C.當時，函數(shù)的圖象與軸圍成封閉圖形的面積為

D.存在，使得不等式能成立

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，，分別是的上頂點和下頂點.

（1）若，是上位于軸兩側(cè)的兩點，求證：四邊形不可能是矩形；

（2）若是的左頂點，是上一點，線段交軸于點，線段交軸于點，，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)列的各項均為整數(shù)，滿足：，且，其中．

（1）若，寫出所有滿足條件的數(shù)列；

（2）求的值；

（3）證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點A（0，2），動點M到點A的距離比動點M到直線y＝﹣1的距離大1，動點M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）Q為直線y＝﹣1上的動點，過Q做曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，已知，且對一切都成立.

(1)當時.

①求數(shù)列的通項公式；

②若，求數(shù)列的前項的和；

(2)是否存在實數(shù)，使數(shù)列是等差數(shù)列.如果存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了了解高一新生是否愿意參加軍訓，隨機調(diào)查了80名新生，得到如下2×2列聯(lián)表

愿意

不愿意

合計

男

x

5

M

女

y

z

40

合計

N

25

80

（1）寫出表中x，y，z，M，N的值，并判斷是否有99.9%的把握認為愿意參加軍訓與性別有關(guān)；

（2）在被調(diào)查的不愿意參加軍訓的學生中，隨機抽出3人，記這3人中男生的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

參考公式：

附：

P（K2≥k0）

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，g（x）＝b（x﹣1），其中a≠0，b≠0

（1）若a＝b，討論F（x）＝f（x）﹣g（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知函數(shù)f（x）的曲線與函數(shù)g（x）的曲線有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，證明：．

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