【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1處取得極值.
(1)討論f(1)和f(﹣1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值;
(2)過點A(0,16)作曲線y=f(x)的切線,求此切線方程.
【答案】
(1)解:f'(x)=3ax2+2bx﹣3,依
題意,f'(1)=f'(﹣1)=0,
即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3﹣3x,f'(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1).
令f'(x)=0,得x=﹣1,x=1.
若x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
則f'(x)>0,
故f(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函數(shù),f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
若x∈(﹣1,1),
則f'(x)<0,故f(x)在(﹣1,1)上是減函數(shù).
所以,f(﹣1)=2是極大值;f(1)=﹣2是極小值.
(2)解:曲線方程為y=x3﹣3x,點A(0,16)不在曲線上.
設切點為M(x0,y0),
則點M的坐標滿足y0=x03﹣3x0.
因f'(x0)=3(x02﹣1),
故切線的方程為y﹣y0=3(x02﹣1)(x﹣x0)
注意到點A(0,16)在切線上,有16﹣(x03﹣3x0)=3(x02﹣1)(0﹣x0)
化簡得x03=﹣8,
解得x0=﹣2.
所以,切點為M(﹣2,﹣2),切線方程為9x﹣y+16=0
【解析】(1)求出f'(x),因為函數(shù)在x=±1處取得極值,即得到f'(1)=f'(﹣1)=0,代入求出a與b得到函數(shù)解析式,然后討論利用x的取值范圍討論函數(shù)的增減性,得到f(1)和f(﹣1)分別是函數(shù)f(x)的極小值和極大值;(2)先判斷點A(0,16)不在曲線上,設切點為M(x0 , y0),分別代入導函數(shù)和函數(shù)中寫出切線方程,因為A點在切線上,把A坐標代入求出切點坐標即可求出切線方程.
【考點精析】利用函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從0,1,2,3,4這五個數(shù)中任選三個不同的數(shù)組成一個三位數(shù),記X為所組成的三位數(shù)各位數(shù)字之和.
(1)求X是奇數(shù)的概率;
(2)求X的概率分布列及數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)集具有性質對任意的,使得成立.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質,并說明理由;
(2)求證: ;
(2)若,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c滿足f(2﹣x)=f(2+x),f(0)>0,且f(m)=f(n)=0(m≠n),則log4m﹣ n的值是( )
A.小于1
B.等于1
C.大于1
D.由b的符號確定
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|﹣4<x<1},B={x|( )x≥2}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)設函數(shù)f(x)= 的定義域為C,求(RA)∩C.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某科技公司生產一種手機加密芯片,其質量按測試指標劃分為:指標大于或等于為合格品,小于為次品.現(xiàn)隨機抽取這種芯片共件進行檢測,檢測結果統(tǒng)計如表:
測試指標 | |||||
芯片數(shù)量(件) |
已知生產一件芯片,若是合格品可盈利元,若是次品則虧損元.
(Ⅰ)試估計生產一件芯片為合格品的概率;并求生產件芯片所獲得的利潤不少于元的概率.
(Ⅱ)記為生產件芯片所得的總利潤,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),記為的導函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線垂直于直線,求的值;
(2)討論的解的個數(shù);
(3)證明:對任意的,恒有.
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