Question

【題目】設(shè)是橢圓上的兩點(diǎn)，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線過橢圓的焦點(diǎn)（為半焦距），求直線的斜率的值；

（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面積為定值1．

【解析】

試題（1）根據(jù)條件可得，再設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，，根據(jù)，求得和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對值，進(jìn)而求得△AOB的面積的值；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.

試題解析：（1）由題可得：，，所以，橢圓的方程為

設(shè)的方程為：，代入得：

∴，，

∵，∴，即：

即，解得：

（2）①直線斜率不存在時(shí)，即，

∵

∴，即

又∵點(diǎn)在橢圓上

∴，即

∴，

∴，故的面積為定值1

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

聯(lián)立得：

∴，，

∴

所以三角形的面積為定值1.