【題目】已知定義域為的單調減函數(shù)是奇函數(shù),當時,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(I);(II);(III).
【解析】
(Ⅰ)利用定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),求f(0)的值;
(Ⅱ)求出x<0的解析式,即可求f(x)的解析式;
(Ⅲ)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,f(x)在R上是減函數(shù),所以t2﹣2t>k﹣2t2.即3t2﹣2t﹣k>0對任意t∈R恒成立,利用判別式小于0即可求實數(shù)k的取值范圍.
(Ⅰ)因為定義域為的函數(shù)是奇函數(shù),
所以.
(Ⅱ)因為當時,,
所以.
又因為函數(shù)是奇函數(shù),所以.
所以.
綜上,
(Ⅲ)由得.
因為是奇函數(shù),
所以.
又在上是減函數(shù),所以.
即對任意恒成立.
令,則.由,解得.
故實數(shù)的取值范圍為.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣x2﹣ax.
(1)若曲線y=f(x)在點x=0處的切線斜率為1,求函數(shù)f(x)在[0,1]上的最值;
(2)令g(x)=f(x)+ (x2﹣a2),若x≥0時,g(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當a=0且x>0時,證明f(x)﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1.
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【題目】如圖,在三棱錐中,已知都是邊長為的等邊三角形,為中點,且平面,為線段上一動點,記.
(1)當時,求異面直線與所成角的余弦值;
(2)當與平面所成角的正弦值為時,求的值.
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【題目】下列說法不正確的是( )
A. 方程有實根函數(shù)有零點
B. 有兩個不同的實根
C. 函數(shù)在上滿足,則在內有零點
D. 單調函數(shù)若有零點,至多有一個
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,若對任意的,總存在使成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若的值域為區(qū)間,是否存在常數(shù),使區(qū)間的長度為?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.(柱:區(qū)間的長度為)
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為Aa,b,c,且滿足 =
(1)若4sinC=c2sinB,求△ABC的面積;
(2)若 + =4,求a的最小值.
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【題目】設不等式x2+y2≤4確定的平面區(qū)域為U,|x|+|y|≤1確定的平面區(qū)域為V.
(1)定義橫、縱坐標為整數(shù)的點為“整點”,在區(qū)域U內任取3個整點,求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率;
(2)在區(qū)域U內任取3個點,記這3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】在三棱錐P﹣ABC中.側梭長均為4.底邊AC=4.AB=2,BC=2 ,D.E分別為PC.BC的中點. 〔I)求證:平面PAC⊥平面ABC.
(Ⅱ)求三棱錐P﹣ABC的體積;
(Ⅲ)求二面角C﹣AD﹣E的余弦值.
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【題目】某鎮(zhèn)在政府“精準扶貧”的政策指引下,充分利用自身資源,大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè),以增加收入,政府計劃共投入72萬元,全部用于甲、乙兩個合作社,每個合作社至少要投入15萬元,其中甲合作社養(yǎng)魚,乙合作社養(yǎng)雞,在對市場進行調研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益、養(yǎng)雞的收益與投入(單位:萬元)滿足 .設甲合作社的投入為(單位:萬元).兩個合作社的總收益為(單位:萬元).
(1)當甲合作社的投入為25萬元時,求兩個合作社的總收益;
(2)試問如何安排甲、乙兩個合作的投入,才能使總收益最大?
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