Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，若對任意的，總存在使成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若的值域為區(qū)間，是否存在常數(shù)，使區(qū)間的長度為？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.（柱：區(qū)間的長度為）

Answer 1

【答案】(1) ；(2)；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：求出函數(shù)的對稱軸，得到函數(shù)的單調(diào)性，解關于的不等式組，解出即可；

只需函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，通過討論，，的情況，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而確定的范圍即可；

通過討論的范圍，結合函數(shù)的單調(diào)性以及，的值，得到關于的方程，解出即可。

解析：(1)根據(jù)題意得：的對稱軸是，故在區(qū)間遞增，

因為函數(shù)在區(qū)間上存在零點，故有，即，

故所求實數(shù)的范圍是；

（2）若對任意的，總存在，使成立，

只需函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，

時，的值域是，

下面求，的值域，

令，則，，

①時，是常數(shù)，不合題意，舍去；

②時，的值域是，

要使 ，只需，計算得出；

③時，的值域是，

要使 ，只需，計算得出；

綜上，的范圍是.

（3）根據(jù)題意得，計算得出，

①時，在區(qū)間上，最大，最小，

，

計算得出：或（舍去）；

②時，在區(qū)間上，最大，最小，

，計算得出：；

③時，在區(qū)間上，最大，最小，

，

計算得出：或，故此時不存在常數(shù)滿足題意，

綜上，存在常數(shù)滿足題意，或.