Question

【題目】如圖，在直角梯形SABC中，∠B=∠C= ，D為邊SC上的點(diǎn)，且AD⊥SC，現(xiàn)將△SAD沿AD折起到達(dá)PAD的位置（折起后點(diǎn)S記為P），并使得PA⊥AB．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，G是AD的中點(diǎn)，當(dāng)線段PB取得最小值時(shí)，則在平面PBC上是否存在點(diǎn)F，使得FG⊥平面PBC？若存在，確定點(diǎn)F的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD=A，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD平面PAD，

∴AB⊥PD，

∵PD⊥AD，AD∩AB=A，

∴PD⊥平面ABCD

（2）解：設(shè)PD=x，則AD=x，DC=6﹣2x，

∴PB2=x2+x2+（6﹣2x）2=6（x﹣2）2+12，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，PB2取得最小值，

即PB取得最小值，

取PC的中點(diǎn)M，PB的中點(diǎn)N，

則DM⊥平面PBC，

∵四邊形DMNG是平行四邊形，

∴GN∥DM，

GN⊥平面PBC，

∴在平面PBC上存在點(diǎn)F，即PB的中點(diǎn)，使FG⊥平面PBC．

【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明PD⊥平面ABCD；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理以及直線平行的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．