【題目】橢圓: 的離心率為,過右焦點垂直于軸的直線與橢圓交于, 兩點且,又過左焦點任作直線交橢圓于點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)橢圓上兩點, 關(guān)于直線對稱,求面積的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(1)由題意求得, ,∴橢圓的方程為.
(2)當(dāng)直線斜率存在且時,聯(lián)立直線與橢圓的方程計算可得假設(shè) 不成立;
當(dāng)直線的斜率時,面積函數(shù),結(jié)合橢圓方程和均值不等式的結(jié)論可得面積的最大值為.
試題解析:
(Ⅰ)由條件有,∴,又,且,
∴, ,∴橢圓的方程為.
(Ⅱ)依題意直線不垂直軸,當(dāng)直線的斜率時,可設(shè)直線的方程為(),則直線的方程為.
由得,
,即,①
設(shè)的中點為,則, ,
點在直線上,∴,故,②
此時與①矛盾,故時不成立.
當(dāng)直線的斜率時, , (, ),
的面積,
∵,
∴,
∴面積的最大值為,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓過點, , 分別為橢圓的右、下頂點,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點在橢圓內(nèi),滿足直線, 的斜率乘積為,且直線, 分別交橢圓于點, .
(i) 若, 關(guān)于軸對稱,求直線的斜率;
(ii) 求證: 的面積與的面積相等.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+c.
(1)當(dāng)c=19時,解關(guān)于a的不等式f(1)>0;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集是(﹣1,3),求實數(shù)a,c的值.
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【題目】已知拋物線的頂點為原點,焦點為圓的圓心.經(jīng)過點的直線交拋物線于兩點,交圓于兩點, 在第一象限, 在第四象限.
(1)求拋物線的方程;
(2)是否存在直線,使是與的等差中項?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧,產(chǎn)業(yè)扶貧”的戰(zhàn)略,某市面向全市征召《扶貧政策》義務(wù)宣傳志愿者,從年齡在的500名志愿者中隨機抽取100名,其年齡頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動,再從這10名志愿者中選取3名擔(dān)任主要負責(zé)人.記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】設(shè){an}是等差數(shù)列,下列結(jié)論中正確的是( )
A.若a1+a2>0,則a2+a3>0
B.若a1+a3<0,則a1+a2<0
C.若0<a1<a2 , 則a2
D.若a1<0,則(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】有甲、乙兩個班進行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后,得到如下列聯(lián)表:(單位:人).
已知在全部105人中隨機抽取1人成績是優(yōu)秀的概率為.
(1)請完成上面的列聯(lián)表,并根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷,是否有的把握認為“成績與班級有關(guān)系”?
(2)若甲班優(yōu)秀學(xué)生中有男生6名,女生4名,現(xiàn)從中隨機選派3名學(xué)生參加全市數(shù)學(xué)競賽,記參加競賽的男生人數(shù)為,求的分布列與期望.
附:
0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn , 已知a10=30,a20=50.
(1)求通項{an};
(2)令Sn=242,求n.
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