Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為圓的圓心.經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交圓于兩點(diǎn)， 在第一象限， 在第四象限.

（1）求拋物線的方程；

（2）是否存在直線，使是與的等差中項(xiàng)？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓的圓心為拋物線的焦點(diǎn)，可求得 ，即可求得拋物線方程；（2）若是等差中項(xiàng)，那么 ，那么 ，再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可知 ，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系，求出直線方程.

試題解析：（1）根據(jù)已知設(shè)拋物線的方程為.

∵圓的方程為，

∴圓心的坐標(biāo)為，半徑.

∴，解得.

∴拋物線的方程為.

（2）∵是與的等差中項(xiàng)，∴.

∴.

若垂直于軸，則的方程為，代入，得.

此時(shí)，即直線不滿足題意.

若不垂直于軸，設(shè)的斜率為，由已知得， 的方程為.

設(shè)，由得.

∴.

∵拋物線的準(zhǔn)線為，

∴，

∴，解得.

當(dāng)時(shí)， 化為，

∵，∴有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.

∴滿足題意，即直線滿足題意.

∴存在滿足要求的直線，它的方程為或.