Question

已知函數(shù)，，．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；
（2）直接寫出（不需要給出演算步驟）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）如果存在，使函數(shù)，在處取得最小值，試求的最大值．

Answer 1

（1）． （2）時，增區(qū)間為；當時，增區(qū)間為．（3）的最大值為，此時唯有符合題意．

本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，求解參數(shù)的取值范圍，以及能利用導數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并能求解給定函數(shù)在區(qū)間的最值問題的綜合運用。
（1）首先要是函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，則說明導函數(shù)恒大于等于零。分離參數(shù)求解參數(shù)的取值范圍。如果不單調(diào)，則說明導函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)有不重復的零點即可。
（2）利用給定的函數(shù)分析a的范圍，分別討論得到單調(diào)區(qū)間。
（3）要研究不等式在給定區(qū)間恒成立問題，可以構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的最值即可來得到。
（1）法一：由題意知，在區(qū)間內(nèi)有不重復的零點．
故只需滿足：，即∴  
法二：由題意知，在區(qū)間內(nèi)有不重復的零點．
由 ，得 ，∵ ， ∴ ．
令，則，故在區(qū)間上是增函數(shù)，其值域為，從而的取值范圍為．  ………… 4分
（2）當時，不存在增區(qū)間；當時，增區(qū)間為；
當時，增區(qū)間為；當時，增區(qū)間為．   8分
（3），據(jù)題意知，在區(qū)間上恒成立，即         ①
當時，不等式①恒成立；
當時，不等式①可化為      ②
令，由于二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，故它在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間端點處取得，又，
∴ 不等式②恒成立的充要條件是， …………  10分
即，亦即 ，
∵ 這個關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解
∴ ，即 ，，
解得 ，又，
故，從而的最大值為，此時唯有符合題意