設函數(shù)f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常數(shù)a>1.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若當x≥0時，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.
(1) f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù).
(2)a的取范圍是(1,6).
(1)求導后，可得,然后利用導數(shù)大于（小于）零，求函數(shù)的單調增（減）區(qū)間.
（2）把握住本小題求解問題的本質是當x≥0時，f(x)的最小值大于零恒成立，求a的取值范圍，因而利用導數(shù)求最小值即可
(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a) 由已知a>1，∴2a>2，∴令f′(x)>0，解得x>2a或x<2，∴當x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)時，f(x)單調遞增，當x∈(2,2a)時，f(x)單調遞減.綜上，當a>1時，f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù).
(2)由(1)知，當x≥0時，f(x)在x＝2a或x＝0處取得最小值.
f(2a)＝(2a) 3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＋24a
＝－a3＋4a2＋24a＝－a(a－6)(a＋3)，f (0)＝24a.

解得1<a<6.故a的取范圍是(1,6).
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

函數(shù) ．
(Ⅰ) 當時，求證：；（4分）
(Ⅱ) 在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的范圍。（4分）
(Ⅲ) 當時，求證：）．（4分）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)
（1）設，，證明：在區(qū)間內存在唯一的零點；
（2）設，若對任意，有，求的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設是在內的零點，判斷數(shù)列的增減性。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，求在上的最大值和最小值；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)，）.
（1）當時，求的單調區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明對一切恒成立.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，，．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調函數(shù)，試求的取值范圍；
（2）直接寫出（不需要給出演算步驟）函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（3）如果存在，使函數(shù)，在處取得最小值，試求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知
（Ⅰ）證明函數(shù)f ( x )的圖象關于軸對稱；
（Ⅱ）判斷在上的單調性；
（Ⅲ）當x∈［1，2］時函數(shù)f (x )的最大值為，求此時a的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)
（I）    討論f（x）的單調性；
（II）  設f（x）有兩個極值點若過兩點的直線I與x軸的交點在曲線上，求α的值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分14分) 設函數(shù).
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間和極大值點；
（Ⅱ）已知，若函數(shù)的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；
（Ⅲ）記為函數(shù)的導函數(shù)．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個正數(shù)…，使得成立？請證明你的結論.

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