Question

已知函數(shù)．
（I）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性（為自然對數(shù)的底）；
（II）記為的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（I）若,當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減.
（II） 。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的在研究函數(shù)中的運用。判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)的極值問題的綜合運用
（1）由已知函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)，然后對于參數(shù)a分類討論得到其單調(diào)區(qū)間，注意討論的完備性。
（2）要是函數(shù)在給定區(qū)間存在極值，說明了導(dǎo)數(shù)值為零的點在該點左右兩側(cè)函數(shù)值異號，那么借助于概念分析求解。
解：（I）       …………1分
若,當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，…………5分
若,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減.               …………7分
（II） ，  ， …………8分
方法一：函數(shù)在區(qū)間上存在極值
等價為關(guān)于方程在上有變號實根
……11分       在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
        …………14分
當時，，不存在極值  ……15分
方法二：  等價為關(guān)于方程在上有變號實根。
⑴  關(guān)于方程在上有兩個不相等實數(shù)根；
                …………10分
⑵關(guān)于方程在上有一個實數(shù)根；
                  …………12分
時，的解為
符合題意           …………13分
當時，的解為
均不符合題意 (舍)………14分   綜上所述，．………15分