(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3x2-2.
(1)設{an}是正數(shù)組成的數(shù)列,前n項和為Sn,其中a1=3.若點(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函數(shù)yf′(x)的圖象上,求證:點(n,Sn)也在yf′(x)的圖象上;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a-1,a)內(nèi)的極值.

解析:
(1)證明:因為f(x)=x3x2-2,
所以f′(x)=x2+2x
由點(an,an+12-2an+1)(n∈N*)在函數(shù)yf′(x)的圖象上,得an+12-2an+1an2+2an,即(an+1an)(an+1an-2)=0.
an>0(n∈N*),所以an+1an=2.
又因為a1=3,
所以數(shù)列{an}是以3為首項,以2為公差的等差數(shù)列,
所以Sn=3n+×2=n2+2n.
又因為f′(n)=n2+2n,所以Snf′(n),
故點(n,Sn)也在函數(shù)yf′(x)的圖象上.
(2)f′(x)=x2+2xx(x+2),
f′(x)=0,得x=0或x=-2,
x變化時,f′(x)、f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)

0

0

f(x)
?
極大值
?
極小值
?
注意到|(a-1)-a|=1<2,從而
①當a-1<-2<a,即-2<a<-1時,f(x)的極大值為f(-2)=-,此時f(x)無極小值;
②當a-1<0<a,即0<a<1時,f(x)的極小值為f(0)=-2,此時f(x)無極大值;
③當a≤-2或-1≤a≤0或a≥1時,f(x)既無極大值又無極小值.
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