Question

(本題滿分14分) 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁為a，公差d＝2，
前n項(xiàng)和為S_n．
(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ) 證明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不構(gòu)成等比數(shù)列．

Answer 1

(Ⅰ)解：因?yàn)?i>S_n＝na＋n (n－1)，
S₁＝a，S₂＝2a＋2，S₄＝4a＋12．由于S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，因此
＝S₁S₄，即得a＝1．a_n＝2n－1．              
(Ⅱ)證明：采用反證法．不失一般性，不妨設(shè)對(duì)某個(gè)m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2構(gòu)成等比數(shù)列，即．因此
a²＋2ma＋2m(m＋1)＝0，     
要使數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a存在，上式中的Δ≥0．然而
Δ＝(2m)²－8m(m＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．
所以，對(duì)任意正整數(shù)n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不構(gòu)成等比數(shù)列

略