Question

（本小題滿分10分）
已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅲ）如果數(shù)列滿足，請(qǐng)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）.。

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，以及等差數(shù)列的該奶奶，以及數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。
（Ⅰ）對(duì)于n賦值為1,2,得到首項(xiàng)和第二項(xiàng)的值。
（Ⅱ）根據(jù)第一問(wèn)中前兩項(xiàng)，可以歸納猜想也可以通過(guò)當(dāng)時(shí)，

，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅲ）由已知得 ，
∵
然后借助于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和得到結(jié)論。
解：（Ⅰ），，得…   2分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

．          ………4分
又滿足，
．      ………5分
∵   ，
∴數(shù)列是以5為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．     ………6分
（Ⅲ）由已知得 ，
∵  ，又，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.      ………8分
.          ………10分