Question

已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.
（Ⅰ）若 ，是否存在，有？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若（為常數(shù)，且），對(duì)任意，存在，有，試求滿足的充要條件；
（Ⅲ）若，試確定所有的,使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和為數(shù)列中的某一項(xiàng)，請(qǐng)證明.

Answer 1

（1）不存在、，使等式成立。（2）、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)    （3）見(jiàn)解析

（1）把代入整理得的關(guān)系，分析均為整數(shù)時(shí)，等式不成立，可得結(jié)論；（2）從特殊入手，先找到與 的關(guān)系，再對(duì)一般的給出證明；（3）由等比數(shù)列的求和公式求出數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和，令，分析為奇數(shù)與偶數(shù)，利用二項(xiàng)式定理整理得到為奇數(shù)時(shí)滿足條件
（1）由得，整理后，可得 、，為整數(shù)不存在、，使等式成立�！�……………4分
（2）當(dāng)時(shí)，則，即，其中是大于等于的整數(shù)反之當(dāng)時(shí)，其中是大于等于的整數(shù)，則，
顯然，其中
、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數(shù)……………………9分
（3）設(shè)，即，
整理得 
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，式左邊為4的倍數(shù)，右邊僅為2的倍數(shù)，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)論不成立。
當(dāng)時(shí)，符合題意。當(dāng)，為奇數(shù)時(shí)，


  由，得
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)，一定有和使上式一定成立。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，命題都成立。
另解：設(shè)  ，
由為奇數(shù)，為大于等于3的奇數(shù)。
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，式左邊==偶數(shù)，式右邊==奇數(shù)，此時(shí)矛盾；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，式左邊==奇數(shù)，所以存在滿足條件的，使得
成立。
綜上所述，為奇數(shù)時(shí)，滿足條件