Question

【題目】已知橢圓1(a>b>0)的左右焦點分別為F1F2,左右頂點分別為AB,上頂點為T,且△TF1F2為等邊三角形.

（1）求此橢圓的離心率e;

（2）若直線y=kx+m(k>0)與橢圓交與CD兩點(點D在x軸上方),且與線段F1F2及橢圓短軸分別交于點MN(其中MN不重合),且|CM|=|DN|.

①求k的值;

②設(shè)ADBC的斜率分別為k1,k2,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①,②

【解析】

（1）設(shè)的半焦距為c,由題得a=2c,即得橢圓的離心率；（2）①設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),聯(lián)立直線和橢圓方程得到，化簡即得解；②先分析得到,求出，進(jìn)一步分析得到的取值范圍.

（1）設(shè)的半焦距為c,

由△TF1F2為等邊三角形.得a=2c,

即橢圓的離心率;

（2）①設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),由y=kx+m,可知,N(0,m),

聯(lián)立y=kx+m與,整理得(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2m2﹣a2b2=0,

其中△=4a2b2(a2k2+b2﹣m2)＞0,

易知,x1+x2=xM+xN,即,

解得,

因為,k＞0,所以,

②由M在線段F1F2,且M,N不重合,

可知,,

從而,

即,,并結(jié)合在曲線上,則有,

所以,

從而可得,∈,

所以的取值范圍為.