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【題目】已知是函數的極值點.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求證：函數存在唯一的極小值點，且.

（參考數據：，，其中為自然對數的底數）

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)根據，求得實數的值，通過導數驗證函數單調，可知時極值點為，滿足題意；

(Ⅱ)由(Ⅰ) 函數的極小點值位于 ，此時的零點位于，且此為的極小點值點，代入，中，化簡即可得到關于的二次函數，求解二次函數在區(qū)間上的值域即可證明結論。

解：(Ⅰ)因為，且 是極值點，

所以，所以 .

此時 ，設 ，則 .

則當 時， 為減函數.

又，

所以在時， ， 為增函數； 時， ，為減函數.所以為的極大值點，符合題意.

（Ⅱ）當 時，，為增函數，且 ，

所以存在 當 時， ，為減函數； 時， ， 為增函數，所以函數存在唯一的極小值點 .

又 ，已知 ，可得 ，

所以，所以 ，

且滿足 .

所以 .

其中也可以用如下方式證明：

，設 ，

則.

則當 時， ，為減函數；當 時，， 為增函數.

所以

所以在 ，所以

練習冊系列答案
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分店個數（個）

2

3

4

5

6

年收入（萬元）

250

300

400

450

600

（Ⅰ）該公司經過初步判斷，可用線性回歸模型擬合與的關系，求關于的回歸方程；

（Ⅱ）假設該公司每年在新城區(qū)獲得的總利潤（單位：萬元）與，之間的關系為，請根據（Ⅰ）中的線性回歸方程，估算該公司在新城區(qū)開設多少個分店時，才能使新城區(qū)每年每個分店的平均利潤最大.

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ，.

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