【題目】已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)都在橢圓上，且中點(diǎn)在線段（不包括端點(diǎn)）上，求面積的最大值，及此時(shí)直線的方程.

【答案】（1）；（2）面積的最大值為1，此時(shí)直線的方程為

【解析】

（1）依題意可得，求出，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，，易知直線AB的斜率存在，設(shè)為k，將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，所得兩式相減，可得到，進(jìn)而可求出k的值，從而設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，分別表示出弦長(zhǎng)及點(diǎn)O到直線AB的距離，從而可求得面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出最大值，并求得此時(shí)直線的方程.

（1）依題意可得，

即，解得，則．

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，，，

依題意可知，直線AB的斜率存在，設(shè)為k，

則，所以，

即，

又，，，所以，

又直線OP：，M在線段OP上，所以，所以．

設(shè)直線AB的方程為，

聯(lián)立方程，可得，

，，，

且，即，解得，

所以，，

又點(diǎn)O到直線AB的距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即舍去時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)直線方程為.

所以面積的最大值為1，此時(shí)直線的方程為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的周長(zhǎng)恰為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且 ，求面積的取值范圍．

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【題目】解關(guān)于的不等式.

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【題目】如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn).

（I）若為上的一點(diǎn)，且與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）在（I）的條件下，設(shè)異面直線與所成的角為45°，求直線與平面成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是函數(shù)的極值點(diǎn).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

（參考數(shù)據(jù)：，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上，若P為動(dòng)點(diǎn)，Q為動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為（）.

（1）寫出直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）平移直線使其經(jīng)過(guò)曲線的焦點(diǎn)，求平移后的直線的極坐標(biāo)方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，為曲線上的一動(dòng)點(diǎn).

（I）求動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)從變動(dòng)到時(shí)，線段所掃過(guò)的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，是否存在點(diǎn)，使得為線段的中點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司代理銷售某種品牌小商品，該產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為5元/件，銷售時(shí)還需交納品牌使用費(fèi)3元/件，售價(jià)為元/件，其中，且．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)，且時(shí)，每月的銷售量（萬(wàn)件）與成正比；當(dāng)，且時(shí)，每月的銷售量（萬(wàn)件）與成反比．已知售價(jià)為15元/件時(shí)，月銷售量為9萬(wàn)件．

（1）求該公司的月利潤(rùn)（萬(wàn)件）與每件產(chǎn)品的售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該公司的月利潤(rùn)最大？并求出最大值．

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