Question

【題目】已知函數(shù)，其中，.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若數(shù)的極值點(diǎn)是，求b、c的值；

（3）若，曲線在處的切線斜率為，求證：的極大值大于.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為（2），（3）證明見解析

【解析】

（1）計(jì)算導(dǎo)數(shù)，由確定減區(qū)間．

（2）由，可求得，注意即可；

（3）由所以，得.由于，則，極大值點(diǎn)必是的較小根，設(shè)其為，則有，再結(jié)合，可求得的取值范圍，計(jì)算，可利用換元法及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得證．

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

故.

令，即，

解得，

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.

（2）因?yàn)?/span>，

所以.

因?yàn)?/span>是函數(shù)的極值點(diǎn)，

所以是方程的實(shí)數(shù)根，

故，解得或，

又因?yàn)?/span>，所以，.

（3）若，由（2）知，

則.

因?yàn)榍�線在處的切線斜率為，

所以，即.

又因?yàn)?/span>，所以.

設(shè)的較小的根為，

則，即.

由及，得，解得，

則的極大值為

令，則.

所以，

故，在上恒成立，

所以，在上為減函數(shù)，

故，即的極大值大于.