Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.

【解析】

（1）求出，對(duì)分類討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）得出有兩解時(shí)的范圍，以及關(guān)系，將，等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對(duì)于任意恒成立即可.

（1）的定義域?yàn)?/span>R，且.

由，得；由，得.

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，

單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，且.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

，，，，

，即.

要證，只需證，

即證，不妨設(shè).

令，則，

則要證，即證.

令，則.

令，則，

在上單調(diào)遞增，.

，在上單調(diào)遞增，

，即成立，

即成立..