Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，

BF⊥平面ACE，且點F在CE上．

(1)求證：AE⊥BE；

(2)求三棱錐D—AEC的體積；

(3)設(shè)點M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，

使得MN∥平面DAE.

Answer 1

【答案】(1)；(2).(3)點N為線段CE上靠近點C的一個三等分點

【解析】試題分析：（1）先證明，可得AE⊥平面BCE，由此能證明 ；（2）由 ，能求出三棱錐 的體積；（3）過點 作，交 于點，過點作 ，交 于點，連接，推導(dǎo)出 平面，由此能求出當(dāng)點為線段 上靠近點的一個三等分點時， 平面 .

試題解析：(1)證明　由AD⊥平面ABE及AD∥BC，

得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，

而BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，

又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE，

又BE平面BCE，故AE⊥BE.

在△ABE中，過點E作EH⊥AB于點H，

則EH⊥平面ACD.

由已知及(1)得EH＝AB＝，S△ADC＝2.

故VD—AEC＝VE—ADC＝×2×＝.(10分)

(3)解：在△ABE中，過點M作MG∥AE交BE于點G，在△BEC中過點G作GN∥BC交EC于點N，

連結(jié)MN，則由＝＝＝，得CN＝CE.

由MG∥AE，AE平面ADE，

MG平面ADE，則MG∥平面ADE.(12分)

再由GN∥BC，BC∥AD，AD平面ADE，GN平面ADE，

得GN∥平面ADE，所以平面MGN∥平面ADE.

又MN平面MGN，則MN∥平面ADE.(15分)

故當(dāng)點N為線段CE上靠近點C的一個三等分點時，

MN∥平面ADE.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.