Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，D，E分別為BC，PD的中點，F為AB上一點，且.

（1）求證：平面PAD；

（2）求證：平面PAC；

（3）若二面角為60°，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直，即證得；（2）根據(jù)平面外一條直線和此平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行，在平面PAC中找一條直線與EF平行，即得證；（3）由二面角為60°，可知的面積，再由三棱錐的體積公式即得。

解：（1）證明：因為，，D是BC的中點，

所以，，

所以，平面PAD.

（2）證明：在AC上取一點G，使得，

取PC的中點H連接FG、GH、HE，

在中，有，，則；

在中，E、H分別是PD、PC的中點，

則，；

所以，，所以，四邊形EFGH為平行四邊形，

所以，，又平面PAC，平面PAC，

所以，平面PAC.

（3）由（1）知，，

所以為二面角的平面角，即，

在中，，，所以，

在中，，，所以，

所以，，

所以，三棱錐的體積.