【題目】在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).試證：存在一個(gè)同心圓的集合，使得：（1）每個(gè)整點(diǎn)都在此集體的某一圓周上；（2）此集合的每個(gè)圓周上.有且只有一個(gè)整點(diǎn).

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

假設(shè)同心圓圓心為P（x，y）任兩點(diǎn)整點(diǎn)A（a，b）和B（c，d），其中a = c，b = d不同時(shí)成立.

.

，

.

∵，a = c，b = d不同時(shí)成立，

∴要使，只需取x為任意無(wú)理數(shù)，y取任意分母不為2的非整有理數(shù)即可（或x，y各取形如的最簡(jiǎn)非同類根式的無(wú)理數(shù)，其中）.

如取（或），則任意兩個(gè)不同整點(diǎn)到的距離都不相等.

把所有整點(diǎn)到P點(diǎn)的距離從小到大排成一列，以為圓心，以為半徑作的同心圓集合即為所求.

（注：P點(diǎn)坐標(biāo)還可其他超越數(shù)，如等等.）

證明三 設(shè)坐標(biāo)平面上任兩個(gè)不同整點(diǎn)A（a，b）和B（c，d），分三類情況討論.

（1），中點(diǎn)，AB垂直平分線方程為；

（2），中點(diǎn)，AB垂直平分線方程為；

（3），中點(diǎn)，AB垂直平分線方程為.

顯然，只有在上述三類直線上的點(diǎn)才有可能到平面上某兩整點(diǎn)的距離相等.若取，則必然不在上述三類直線上，則到任意兩個(gè)不同整點(diǎn)的距離都不相等.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)， ， 兩點(diǎn)都在拋物線上，且.

（1）求證：直線必過(guò)一定點(diǎn)；

（2）求證： 面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】國(guó)內(nèi)某汽車品牌一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示，據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量的概率分布如下：

0

1

2

3

（1）求的值；

（2）若每個(gè)月被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該汽車品牌在五個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴3次的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為軸上的點(diǎn).

（1）過(guò)點(diǎn)作直線與相切，求切線的方程；

（2）如果存在過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】生活中萬(wàn)事萬(wàn)物都是有關(guān)聯(lián)的，所有直線中有關(guān)聯(lián)直線，所有點(diǎn)中也有相關(guān)點(diǎn)，現(xiàn)在定義：平面內(nèi)如果兩點(diǎn)、都在函數(shù)的圖像上，而且滿足、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)（、）是函數(shù)的“相關(guān)對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”（注明：點(diǎn)對(duì)（、）與（、）看成同一個(gè)“相關(guān)對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”）.已知函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的“相關(guān)對(duì)稱點(diǎn)對(duì)”有（ ）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的極坐標(biāo)為，設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)．

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為的零點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，，的部分圖象如圖所示，有下列結(jié)論：

①函數(shù)的最小正周期為

②函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>

③函數(shù)的一條對(duì)稱軸是

④函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

⑤函數(shù)在上為減函數(shù)

其中正確的是______.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，D，E分別為BC，PD的中點(diǎn)，F為AB上一點(diǎn)，且.

（1）求證：平面PAD；

（2）求證：平面PAC；

（3）若二面角為60°，求三棱錐的體積.

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