Question

【題目】如圖甲，四邊形中，是的中點(diǎn)， ．將（圖甲）沿直線(xiàn)折起，使二面角為（如圖乙）．

（1）求證：⊥平面

（2）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接，可知，平面，即，也可證明，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判斷定理可證平面；（2）根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，可得點(diǎn)到平面的距離，或是利用空間直角坐標(biāo)解決.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，取BD中點(diǎn)M，連接AM，ME.

因?yàn)?/span>AB=AD=，所以AM⊥BD， 因?yàn)?/span>DB=2，DC=1，BC=，滿(mǎn)足：DB 2+DC 2=BC 2， 所以△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，因?yàn)?/span>E是BC的中點(diǎn)，所以ME為△BCD的中位線(xiàn)，ME∥，ME⊥BD，ME=

∠AME是二面角A-BD-C的平面角，=°.

，且AM、ME是平面AME內(nèi)兩條相交于點(diǎn)M的直線(xiàn)，

，平面AEM，.

，，為等腰直角三角形，，在△AME中，由余弦定理得：

，.

（Ⅱ）解法一：等體積法.

解法二：如圖5，以M為原點(diǎn)，MB所在直線(xiàn)為x軸，ME所在直線(xiàn)為y軸，

平行于EA的直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則由（Ⅰ）及已知條件可知B(1，0，0)，，，D，C.則

設(shè)平面ACD的法向量為=，

則令則z=-2，

記點(diǎn)到平面的距離為d，則，所以d.