【題目】已知數(shù)列的前項和為,且滿足:
(1)證明:是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式.
(2)設(shè),若數(shù)列是等差數(shù)列,求實數(shù)的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè) 記數(shù)列的前項和為,若對任意的存在實數(shù),使得,求實數(shù)的最大值.
【答案】(1) 證明過程見解析 (2) (3)
【解析】
(1)由,再得出,兩式作差,得出,,再分奇數(shù)項,偶數(shù)項分別求通項公式即可得解;
(2)由等差數(shù)列的等差中項可得恒成立,可得,解得;
(3)由已知有,由裂項求和法求數(shù)列前項和得,由分離變量最值法可得,運算即可得解.
解:(1)因為,①
所以,②
②-①得:,
由易得,即,
即,,
即數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項,4為公比的等比數(shù)列,偶數(shù)項是以為首項,4為公比的等比數(shù)列,
當為奇數(shù)時,,
當為偶數(shù)時,,
綜上可得,
又,
故是等比數(shù)列,且數(shù)列的通項公式.
(2)因為,
所以,
因為數(shù)列是等差數(shù)列,
所以恒成立,
即有恒成立,
即,
解得;
(3)因為=,
即,
又對任意的存在實數(shù),使得,
即對任意的 恒成立,
又當時,取最小值3,時,,
即,
故實數(shù)的最大值為.
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【題目】設(shè)定義且為常數(shù)),若 , .下述四個命題:
① 不存在極值;
②若函數(shù) 與函數(shù) 的圖象有兩個交點,則 ;
③若在 上是減函數(shù),則實數(shù) 的取值范圍是 ;
④若 ,則在的圖象上存在兩點,使得在這兩點處的切線互相垂直
A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ②④
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【題目】已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a1=2,公比q>0,且a2,6,a3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log2an,,求使的n的值.
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【題目】為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某城區(qū)對轄區(qū)內(nèi),,三類行業(yè)共200個單位的生態(tài)環(huán)境治理成效進行了考核評估,考評分數(shù)達到80分及其以上的單位被稱為“星級”環(huán)保單位,未達到80分的單位被稱為“非星級”環(huán)保單位.現(xiàn)通過分層抽樣的方法獲得了這三類行業(yè)的20個單位,其考評分數(shù)如下:
類行業(yè):85,82,77,78,83,87;
類行業(yè):76,67,80,85,79,81;
類行業(yè):87,89,76,86,75,84,90,82.
(Ⅰ)計算該城區(qū)這三類行業(yè)中每類行業(yè)的單位個數(shù);
(Ⅱ)若從抽取的類行業(yè)這6個單位中,再隨機選取3個單位進行某項調(diào)查,求選出的這3個單位中既有“星級”環(huán)保單位,又有“非星級”環(huán)保單位的概率.
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【題目】長沙某超市計劃按月訂購一種冰激凌,每天進貨量相同,進貨成本為每桶5元,售價為每桶7元,未售出的冰激凌以每桶3元的價格當天全部處理完畢.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天的需求量與當天最高氣溫(單位:)有關(guān),如果最高氣溫不低于,需求量為600桶;如果最高氣溫(單位:)位于區(qū)間,需求量為400桶;如果最高氣溫低于,需求量為200桶.為了確定今年九月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年九月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫() | ||||||
天數(shù) | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求九月份這種冰激凌一天的需求量(單位:桶)的分布列;
(2)設(shè)九月份一天銷售這種冰激凌的利潤為(單位:元),當九月份這種冰激凌一天的進貨量(單位:桶)為多少時,的均值取得最大值?
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【題目】設(shè),命題p:函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;q:函數(shù)僅在處有極值.
(1)若命題q是真命題,求a的取值范圍;
(2)若命題是真命題,求a的取值范圍.
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【題目】函數(shù)
(1)求的值;
(2)時,求的取值范圍;
(3)函數(shù)的性質(zhì)通常指的是函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性等,請你探究函數(shù)其中的三個性質(zhì)(直接寫出結(jié)論即可)
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【題目】已知點,是函數(shù)圖象上的任意兩點,且角的終邊經(jīng)過點,若時,的最小值為.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若方程在內(nèi)有兩個不同的解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,直線()與橢圓交于,兩點(點在軸的上方).
(1)若,求的面積;
(2)是否存在實數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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