【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）若存在，使，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）所證明不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)， 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用最值證明；

（Ⅱ）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再分和兩種情況求的取值范圍，當(dāng)時(shí)，成立，求，當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的結(jié)論證明時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明，綜上證明過(guò)程求的取值范圍.

解：（Ⅰ）解：的定義域?yàn)?/span>，

，即

設(shè)，

，故在為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，得證.

（Ⅱ），故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，

對(duì)于，

（1）當(dāng)時(shí)，，需要，；

（2）當(dāng)時(shí)，先證若，有，

（ⅰ）若，，設(shè)，，

是減函數(shù)，，

，

（ⅱ）若，設(shè)，

是增函數(shù)，，，

故有，使，在減，在增，

，，

時(shí)，，得

由（ⅰ）（ⅱ）得，當(dāng)時(shí)，

此時(shí)由于，時(shí)，，故，滿足題意.

綜上可得，的取值范圍是.

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