【題目】已知四棱錐中，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若點是線段上靠近的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）1.

【解析】

（1）在中，利用余弦定理，可求得，用勾股定理，可證得，，繼而可證平面，即得證；

（2））以為坐標原點，過點作平行于的直線為軸，所在直線為軸，過點作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，分別求解直線的方向向量，平面的法向量，利用線面角的向量公式，即得解

（1）不妨設，則，，，

因為，由余弦定理，，解得，

故，則；

而，則，

因為，故平面，

因為平面，故平面平面.

（2）以為坐標原點，過點作平行于的直線為軸，所在直線為軸，過點作垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，由（1）可知，

設點坐標為，由，

解得，，即點坐標為，

設平面的法向量為，所以，

所以，令，得，

而，故，故，

設直線與平面所成角為，則.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】美團外賣和百度外賣兩家公司其“騎手”的日工資方案如下：美團外賣規(guī)定底薪70元，每單抽成1元；百度外賣規(guī)定底薪100元，每日前45單無抽成，超出45單的部分每單抽成6元，假設同一公司的“騎手”一日送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司個隨機抽取一名“騎手”并記錄其100天的送餐單數(shù)，得到如下條形圖：

（Ⅰ）求百度外賣公司的“騎手”一日工資（單位：元）與送餐單數(shù)的函數(shù)關系；

（Ⅱ）若將頻率視為概率，回答下列問題：

①記百度外賣的“騎手”日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望；

②小明擬到這兩家公司中的一家應聘“騎手”的工作，如果僅從日收入的角度考慮，請你利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在新型冠狀病毒疫情期間，商業(yè)活動受到很大影響某小型零售連鎖店總部統(tǒng)計了本地區(qū)50家加盟店2月份的零售情況，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示.據(jù)估計，平均銷售收入比去年同期下降40%，則去年2月份這50家加盟店的平均銷售收入約為（ ）

A.6.6萬元B.3.96萬元C.9.9萬元D.7.92萬元

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】假設你有一筆資金，現(xiàn)有三種投資方案，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.

現(xiàn)打算投資10天，三種投資方案的總收益分別為，，，則（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項和， 是等差數(shù)列，且.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定點S( -2，0) ，T(2，0)，動點P為平面上一個動點，且直線SP、TP的斜率之積為.

（1）求動點P的軌跡E的方程；

（2）設點B為軌跡E與y軸正半軸的交點，是否存在直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求證：當時，；

（Ⅱ）若存在，使，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（2）若，且函數(shù)的值域為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．

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