Question

【題目】某房地產(chǎn)商建有三棟樓宇，三樓宇間的距離都為2千米，擬準(zhǔn)備在此三樓宇圍成的區(qū)域外建第四棟樓宇，規(guī)劃要求樓宇對樓宇，的視角為，如圖所示，假設(shè)樓宇大小高度忽略不計(jì)．

（1）求四棟樓宇圍成的四邊形區(qū)域面積的最大值；

（2）當(dāng)樓宇與樓宇，間距離相等時(shí)，擬在樓宇，間建休息亭，在休息亭和樓宇，間分別鋪設(shè)鵝卵石路和防腐木路，如圖，已知鋪設(shè)鵝卵石路、防腐木路的單價(jià)分別為，（單位：元千米，為常數(shù)）．記，求鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總費(fèi)用的最小值．

Answer 1

【答案】（1）圍成的四邊形區(qū)域 的面積的最大值 平方千米；（2）總費(fèi)用的最小值元.

【解析】

（1）由樓宇對樓宇，的視角為得樓宇D在一段圓弧上，則相等時(shí)，可得最大，固定，計(jì)算此時(shí)四邊形的面積即可．

（2）用表示出，，從而表示出鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總費(fèi)：，再利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而求得它的最小值，問題得解．

（1）當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)，取得等號，所以的最大值為

又因?yàn)樗倪呅?/span>的面積

所以四邊形的面積的最大值為.

答：四棟樓宇圍成的四邊形區(qū)域的面積的最大值平方千米.

（2）當(dāng)樓宇與樓宇間距離相等時(shí)

由（1）得：

則，又因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)榈冗吶切?/span>

所以，所以

在中，，所以

，則

所以鋪設(shè)鵝卵石路和防腐木路的總費(fèi)用

令

因?yàn)?/span>，所以

	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以當(dāng)時(shí)，

即：的最小值為

答：鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總費(fèi)用的最小值元.