【題目】(2017·全國Ⅱ卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點.
(1)證明:直線CE∥平面PAB;
(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1) 取PA的中點F,根據(jù)平幾知識得四邊形BCEF是平行四邊形,即得CE∥BF ,再根據(jù)線面平行判定定理證結論,(2) 先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,根據(jù)方程組各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關系求二面角M-AB-D的余弦值.
試題解析: (1)證明 取PA的中點F,連接EF,BF,
因為E是PD的中點,所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,
又BC=AD,所以EF綉BC,
四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF,
又BF平面PAB,
CE平面PAB,
故CE∥平面PAB.
(2)解 由已知得BA⊥AD,以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,||為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),
=(1,0,-),=(1,0,0).
設M(x,y,z)(0<x<1),則
=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).
因為BM與底面ABCD所成的角為45°,
而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,
所以|cos〈,n〉|=sin 45°,
=,
即(x-1)2+y2-z2=0.①
又M在棱PC上,設=λ(0<λ≤1),則
x=λ,y=1,z=-λ.②
由①,②解得 (舍去),
所以M,從而=.
設m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則
即
所以可取m=(0,-,2).
于是cos〈m,n〉==.
因此二面角M-AB-D的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,橢圓: 的離心率為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知與為平面內(nèi)的兩個定點,過點的直線與橢圓交于, 兩點,求四邊形面積的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學,測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;
(2)計算甲班的樣本方差;
(3)現(xiàn)從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學,求身高為176cm的同學被抽中的概率。
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在上的最值;
(3)當時,若函數(shù)恰有兩個不同的零點,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2.
(1)求證:AB⊥PC;
(2)在線段PD上,是否存在一點M,使得二面角MACD的大小為45°,如果存在,求BM與平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱中,所有棱長都等于.
(1)當點是的中點時,
①求異面直線和所成角的余弦值;
②求二面角的正弦值;
(2)當點在線段上(包括兩個端點)運動時,求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知四棱錐的底面為矩形, 底面,且(),, 分別是, 的中點.
(1)當為何值時,平面平面?并證明你的結論;
(2)當異面直線與所成角的正切值為2時,求三棱錐的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某校組織的高二女子排球比賽中,有、兩個球隊進入決賽,決賽采用7局4勝制.假設、兩隊在每場比賽中獲勝的概率都是.并記需要比賽的場數(shù)為.
(Ⅰ)求大于4的概率;
(Ⅱ)求的分布列與數(shù)學期望.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com