【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2.
(1)求證:AB⊥PC;
(2)在線段PD上,是否存在一點(diǎn)M,使得二面角MACD的大小為45°,如果存在,求BM與平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)利用直角梯形的性質(zhì)求出AB,AC的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB⊥AC,由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA,故AB⊥平面PAC,于是AB⊥PC;
(2)取BC的中點(diǎn)E,則AE⊥BC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AE,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法表示二面角MACD根據(jù)已知條件,即可建立a的方程,從而解出a值,故存在.
試題解析:
(1)證明:如圖,由已知得四邊形ABCD是直角梯形,
由AD=CD=2,BC=4,
可得AB=AC=4,
所以BC2=AB2+AC2,
所以∠BAC=90°,即AB⊥AC,
因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,
又PA∩AC=A,
所以AB⊥平面PAC,
所以AB⊥PC.
(2)存在,理由如下:取BC的中點(diǎn)E,則AE⊥BC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AE,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),C(2,2,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-2,0),=(0,2,-2),=(2,2,0).
設(shè)=t (0<t<1),
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2t,2-2t),
所以=(0,2t,2-2t).
設(shè)平面MAC的法向量是n=(x,y,z),
則即
令x=1,得y=-1,z=,
則n=.
又m=(0,0,1)是平面ACD的一個(gè)法向量,
所以|cos〈m,n〉|===,
解得t=,即點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn).
此時(shí)平面MAC的一個(gè)法向量n=(1,-1,),
又=(-2,3,1).
設(shè)BM與平面MAC所成的角為θ,
則sin θ=|cos〈n,〉|==.
故BM與平面MAC所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的一段圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到的圖象,求直線與
函數(shù)的圖象在內(nèi)所有交點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠擬建一座平面圖為矩形,面積為,高度一定的三段污水處理池(如圖),由于受地形限制,其長(zhǎng)、寬都不超過(guò),如果池的外壁的建造費(fèi)單價(jià)為元,池中兩道隔壁墻(與寬邊平行)的建造費(fèi)單價(jià)為元,池底的建造費(fèi)單價(jià)為元.設(shè)水池的長(zhǎng)為,總造價(jià)為.
(1)求的表達(dá)式;
(2)水池的長(zhǎng)與寬各是多少時(shí),總造價(jià)最低,并求出這個(gè)最低造價(jià).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正三棱柱中,已知,分別為,的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且.求證:
(1)直線∥平面;
(2)直線平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017·全國(guó)Ⅱ卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn).
(1)證明:直線CE∥平面PAB;
(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,島、相距海里.上午9點(diǎn)整有一客輪在島的北偏西且距島 海里的處,沿直線方向勻速開往島,在島停留分鐘后前往市.上午測(cè)得客輪位于島的北偏西且距島 海里的處,此時(shí)小張從島乘坐速度為海里/小時(shí)的小艇沿直線方向前往島換乘客輪去市.
(Ⅰ)若,問(wèn)小張能否乘上這班客輪?
(Ⅱ)現(xiàn)測(cè)得, .已知速度為海里/小時(shí)()的小艇每小時(shí)的總費(fèi)用為()元,若小張由島直接乘小艇去市,則至少需要多少費(fèi)用?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若直線l1和l2是異面直線,l1α,l2β,α∩β=l,則下列命題正確的是( )
A. l至少與,中的一條相交B. l與,都相交
C. l至多與,中的一條相交D. l與,都不相交
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)已知, 為整數(shù),若對(duì)任意,都有恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中, , .
(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)若是數(shù)列的前項(xiàng)和,求.
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