【題目】如圖， 平面， 平面， 是等邊三角形， ，

是的中點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：⑴證明， ，推出平面，然后證明

；

⑵以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過且與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，說明為直線與平面所成角，設(shè)，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可；

解析：（1）因?yàn)?/span>是等邊三角形， 是的中點(diǎn)，所.

因?yàn)?/span>平面， 平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）法1：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過且與直線平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>平面，所以為直線與平面所成角.

得，即，從而.

不妨設(shè)，又，則， .故， ，

， .于是，

， ， ，設(shè)平面與平面的法向量分別為

， ，由得令，得，

所以.由得令得

， .所以.

所以.

所以二面角的余弦值為.

法2：因?yàn)?/span>平面，所以為直線與平面所成角.

由題意得，即，從而.

不妨設(shè)，又， ， ， .

由于平面， 平面，則.

取的中點(diǎn)，連接，則.

在中， ，

在中， ，

在中， ，

取的中點(diǎn)，連接， ， ，

則， . 所以為二面角的平面角.

在中， ，在中， ，

在中， ，因?yàn)?/span>，

所以.所以二面角的余弦值

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某動(dòng)漫影視制作公司長期堅(jiān)持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動(dòng)漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動(dòng)漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評(píng).同時(shí)也為公司贏得豐厚的利潤，該公司2013年至2019年的年利潤關(guān)于年份代號(hào)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號(hào)線性相關(guān)）

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

年份代號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

年利潤（單位：億元）

29

33

36

44

48

52

59

（1）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2020年的年利潤；

（2）當(dāng)統(tǒng)計(jì)表中某年年利潤的實(shí)際值大于由（1）中線性回歸方程計(jì)算出該年利潤的估計(jì)值時(shí)，稱該年為A級(jí)利潤年，否則稱為B級(jí)利潤年.現(xiàn)從2015年至2019年這5年中隨機(jī)抽取2年，求恰有1年為A級(jí)利潤年的概率.

參考公式：，

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（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與（1）中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若，求直線的斜率的取值范圍.

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【題目】已知某智能手機(jī)制作完成之后還需要依次通過三道嚴(yán)格的審核程序，第一道審核、第二道審核、第三道審核通過的概率分別為， ， ，每道程序是相互獨(dú)立的，且一旦審核不通過就停止審核，每部手機(jī)只有三道程序都通過才能出廠銷售．

（1）求審核過程中只通過兩道程序的概率；

（2）現(xiàn)有3部該智能手機(jī)進(jìn)入審核，記這3部手機(jī)可以出廠銷售的部數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】【2018屆寧夏育才中學(xué)高三上學(xué)期期末】某公司為了解廣告投入對(duì)銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入萬元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從開始計(jì)數(shù)的.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度；

（2）試估計(jì)該公司投入萬元廣告費(fèi)用之后，對(duì)應(yīng)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；

（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：

由表中的數(shù)據(jù)顯示， 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)將（2）的結(jié)果填入空白欄，并求出關(guān)于的回歸直線方程.

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(Ⅰ)估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；

(Ⅱ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(μ，210)，μ近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求P(50.5<Z<94)；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)査的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

(i)得分不低于μ可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ則只有1次；

(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下：

贈(zèng)送話費(fèi)(單元：元)

10

20

概率

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加.問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附： ，

若ZN(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ+σ)= 0.6826，P(μ－2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.

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