【題目】已知拋物線:()與橢圓:相交所得的弦長為.
(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè),是上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng),變化且為定值()時,證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)直線恒過定點(diǎn).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)設(shè)拋物線與橢圓交于,兩點(diǎn),由對稱性得,代入得的值;(Ⅱ)欲求證直線恒過定點(diǎn),可先根據(jù)條件求出帶參數(shù)的直線的方程,再結(jié)合為定值即可證得.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)拋物線與橢圓交于,兩點(diǎn).
由橢圓的對稱性可知,,,
將點(diǎn)代入拋物線中,得,
再將點(diǎn)代入橢圓中,得,解得.
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),,
由題意得(否則,不滿足),且,,
設(shè)直線,的方程分別為,,
聯(lián)立,解得,,聯(lián)立,解得,;
則由兩點(diǎn)式得,直線的方程為.
化簡得.①
因為,由,得,得,②
將②代入①,化簡得,得.
得,
得,
得,
即.
令,不管取何值,都有.
所以直線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=,其中0<a<1,k∈R。
(Ⅰ)若k=1,求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)若a=,且f(x)在[1,+∞)內(nèi)總有意義,求k的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),數(shù)列滿足,(,).
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),若對恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在以為首項,公比為(,)的數(shù)列,使得數(shù)列的每一項都是數(shù)列的不同的項,若存在,求出所有滿足條件的數(shù)列的通項公式;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)圓的圓心在軸上,并且過兩點(diǎn).
(1)求圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn),那么以為直徑的圓能否經(jīng)過原點(diǎn),若能,請求出直線的方程;若不能,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:()與橢圓:相交所得的弦長為
(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè),是上異于原點(diǎn)的兩個不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng),變化且為定值()時,證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PD=1,PA=PC=.
(1)求證:PD⊥平面ABCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(請選做其中一題)
(1)請推導(dǎo)等差數(shù)列及等比數(shù)列前項和公式;
(2)如果你在海上航行,請設(shè)計一種測量海上兩個小島之間距離的方法并作圖說明;
(3)某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池,其容積為4800立方米,深為3米,如果池底每平米的造價為150元,池壁每平米造價為120元,怎樣設(shè)計水池能使造價最低?最低總造價是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,函數(shù)與的圖象有三個不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的范圍;
(2)討論的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次,記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為.
(1)求事件“”的概率;
(2)求事件“”的概率.
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